Como usar

Ajuste o número de linhas e colunas de cada matriz com os botões − e + e digite os valores nas células. Escolha uma operação e o resultado aparece logo abaixo, sendo refeito a cada número digitado. Ao diminuir uma matriz, os valores das células escondidas ficam guardados e voltam se você aumentá-la de novo.

O botão Usar como A (ou B) copia o resultado para uma das matrizes, o que permite encadear contas, como calcular A⁻¹ e depois multiplicar por B. Trocar A ↔ B inverte as duas matrizes, e Copiar leva o resultado separado por tabulações, pronto para colar em uma planilha.

Operações e quando cada uma existe

Soma e subtração: as duas matrizes precisam ter as mesmas dimensões; a conta é feita elemento por elemento.
Produto: o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Uma 2 × 3 vezes uma 3 × 2 dá uma 2 × 2. A × B e B × A em geral são diferentes.
Determinante, inversa, traço e potência: só para matrizes quadradas. A inversa só existe quando o determinante é diferente de zero.
Transposta, posto e multiplicação por k: valem para qualquer matriz.

Como o determinante e a inversa são calculados

O determinante sai por eliminação de Gauss com pivoteamento parcial: a matriz vira triangular e o determinante é o produto da diagonal, com o sinal trocado a cada troca de linhas. A inversa usa o método de Gauss-Jordan, escalonando a matriz ao lado da identidade.

det [[a, b], [c, d]] = a·d − b·c A⁻¹ = (1 / det A) · [[d, −b], [−c, a]]

Exemplo: para A = [[4, 7], [2, 6]], det A = 4 · 6 − 7 · 2 = 10, e a inversa é [[0,6; −0,7], [−0,2; 0,4]]. Multiplicando A pela inversa, o resultado é a identidade.

Potências usam multiplicações sucessivas por quadrados, e expoentes negativos usam a inversa: A⁻² é a inversa de A elevada ao quadrado. O expoente vai de −1000 a 1000. A potência da matriz [[1, 1], [1, 0]] gera a sequência de Fibonacci: na quinta potência aparecem 8, 5, 5 e 3.

Precisão

As contas usam ponto flutuante de dupla precisão. Resíduos muito pequenos em relação aos valores da matriz, como 4,4 × 10⁻¹⁶, são mostrados como 0, e um determinante praticamente nulo é tratado como zero. Matrizes quase singulares podem ter inversas com números muito grandes; nesse caso, vale conferir os dados.

Perguntas frequentes

O que é o posto de uma matriz?

É o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Em [[1, 2], [2, 4]], a segunda linha é o dobro da primeira, então o posto é 1. Uma matriz quadrada n × n é inversível exatamente quando o posto é n.

O que é o traço?

É a soma dos elementos da diagonal principal. Para [[1, 2], [3, 4]], o traço é 1 + 4 = 5. Ele é igual à soma dos autovalores da matriz.

Posso resolver um sistema linear aqui?

Sim: coloque os coeficientes em A e os termos independentes em B, como uma matriz de uma coluna, calcule A⁻¹, use o resultado como A e faça A × B. Para sistemas 2 × 2 e 3 × 3 com o passo a passo, use a página de equações.

As matrizes ficam salvas?

Os valores ficam guardados apenas neste navegador, para você continuar depois. Nada é enviado para a EFS Aplicativos.